Du fun avec les mathématiques

La mort de Michael Jackson, on est pas mal tannés d'en entendre parler. Sauf quand les mathématiques appliquées s'en mêlent. Justement, Times Online s'en sert pour nous introduire au problème du Bar El Farol qui malgré son nom farfelu est un problème de stratégie et probabilités.

Le voici. Soit (soit! maths 103!) un bar tout petit qui est vraiment le top du top le mardi, mais seulement à la condition que moins de 60 personnes viennent parce qu'à partir de 61 c'est vraiment chiant et il perd presque magiquement tout son intérêt. Or, il y a 100 personnes en ville qui aiment vraiment la place et comme le bar est loin, il est impossible de juste aller voir s'il y a plus de 60 personne. Re-or, c'est justement mardi, alors est-ce qu'on y va ou pas? C'est là que ça devient un problème mathématique, parce que l'analyse de la situation implique un mélange de calcul de probabilités et l'utilisation d'un théorème qui s'appelle l'Équilibre de Nash. Et de toute manière c'est finalement mieux de rester à la maison et de réfléchir abstraitement au problème que de risquer de s'emmerder encore une fois avec les 60 hipsters qui ruinent systématiquement tout ce qui est le fun dans la vie. Et puis pourquoi on sortirait, il pleut fucking tout le temps.

Mais quel est le rapport avec Michael Jackson? La question se pose pour ceux qui ont acheté les billets pour sa dernière série de spectacles qui devait avoir lieu à Londres. La compagnie de production offre de rembourser les billets, mais les billets ont-ils une chance de valoir plus comme item de collection si on les garde? Si une majorité de gens se fait rembourser son billet, la valeur de ceux qui ne le vendront pas augmentera; si une majorité de gens le garde, les même billets ne vaudront plus rien. Comme pour les figurines de Star Wars Episode I, tout le monde s'est garroché pour en acheter et finalement les invendus, ça s'est tout retrouvé au Dollarama.

Les maths, c'est cool, non?

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Ce qui me permet de mentionner un autre sujet bizarre de maths sur lequel je suis tombé. Comme je m'intéresse à la bibliothéconomie, je niaisais l'autre après-midi en lisant sur les algorithmes de classement qui permettent de référencer des bases de donnée. Comme tout le monde sait, c'est LE sujet de l'été et ça marche au boutte pour se pogner des filles, aussi bien à la terasse de l'esco que sur la piste cyclable dans le Vieux-Montréal. Or, en cherchant, je tombe sur un truc qui s'appelle le "pigeonhole principle" ou le "principe des tiroirs" en français qui affirme que

si E et F sont deux ensembles finis, tels que card(E) > card(F) et si f : E→F est une application de E dans F, alors il existe un élément de F qui admet au moins deux antécédents par f ; autrement dit il n'existe pas d'application injective de E dans F.

Qu'est-ce que ça veut dire? J'en ai aucune espèce d'idée. Sauf que selon ce principe, on peut conclure avec certitude qu'au moins deux personne dans la ville de Dallas ont exactement le même nombre de cheveux, et ce, sans avoir à compter les cheveux de personne. Il faut seulement placer virtuellement la tête de chacun des habitants dans un tiroir:

une tête normale a environ 150 000 cheveux et il est raisonnable de supposer que personne n'a plus de 1 000 000 de cheveux sur la tête. Il y a plus de 1 000 000 personnes à Dallas. Si nous associons à chaque nombre de cheveux sur une tête un tiroir, et si nous plaçons chaque habitant de Dallas dans le tiroir correspondant à son nombre de cheveux sur la tête, alors d'après le principe des tiroirs, il y a nécessairement au moins deux personnes ayant exactement le même nombre de cheveux sur la tête à Dallas ! Évidemment, le résultat reste vrai pour n'importe quelle mégalopole.

Mettre des têtes dans des tiroirs, classer les gens par leur nombre de cheveux: ce genre de truc-là me fascine profondément et je trouve ça juste trop génial. Qui vient avec moi dans mon tiroir? Vous pouvez vous les arracher si le compte est pas exact.

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Mais Doctorak, d'où vous vient ce si futile intérêt pour les mathématiques appliquées? Il pleut tout le temps calice.